一元一次方程指只含有一個(gè)未知數(shù)（元），這樣的整式方程叫做一元一次方程。一元一次方程只有一個(gè)根。一元一次方程可以解決絕大多數(shù)的工程問(wèn)題、行程問(wèn)題、分配問(wèn)題、盈虧問(wèn)題、積分表問(wèn)題、電話(huà)計(jì)費(fèi)問(wèn)題、數(shù)字問(wèn)題。

一元一次方程最早見(jiàn)于約公元前1600年的古埃及時(shí)期。公元820年左右，數(shù)學(xué)家花拉子米在《對(duì)消與還原》一書(shū)中提出了“合并同類(lèi)項(xiàng)”、“移項(xiàng)”的一元一次方程思想。16世紀(jì)，數(shù)學(xué)家韋達(dá)創(chuàng)立符號(hào)代數(shù)之后，提出了方程的移項(xiàng)與同除命題。1859年，數(shù)學(xué)家李善蘭正式將這類(lèi)等式譯為一元一次方程。

基本概述

只含有一個(gè)未知數(shù)（即“元”），并且未知數(shù)的最高次數(shù)為1（即“次”）的整式方程（左右兩邊的式子要用“=”連接）叫做一元一次方程（英文名：linear equation with one unknown）。一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式（即所有一元一次方程經(jīng)整理都能得到的形式）是ax b=0（a，b為常數(shù)，x為未知數(shù)，且a≠0）。求根公式：x=-b/a。

一元一次方程的特點(diǎn)：

（1）為一個(gè)等式

（2）該方程為整式方程。

（3）該方程有且只含有一個(gè)未知數(shù)。

（4）該方程中未知數(shù)的最高次數(shù)是1。（系數(shù)化為1）

（5）未知數(shù)系數(shù)不為0.

滿(mǎn)足以上五點(diǎn)的方程，就是一元一次方程。

要判斷一個(gè)方程是否為一元一次方程，先看它是否為整式方程。若是，再對(duì)它進(jìn)行整理。如果能整理為 ax b=0（a≠0，a是ax的系數(shù)，a與b均為常數(shù)）的形式，則這個(gè)方程就為一元一次方程。里面要有等號(hào)，且分母里不含未知數(shù)。

  變形公式

ax=b（a，b為常數(shù)，x為未知數(shù)，且a≠0）

表示方法

（1）一般形式：ax b=0（a，b為常數(shù)，a≠0）

（2）最簡(jiǎn)形式：ax=b（a，b為常數(shù)，a≠0）

補(bǔ)充

（1）等式的性質(zhì)1：在等式左右兩邊同時(shí)加或減同一個(gè)數(shù)，等式成立

式子表示：a=b→a±c=b±c

（2）等式的性質(zhì)2：等式兩邊同時(shí)乘或除不為0的數(shù)，等式成立

式子表示   a=b→ac=bc

a=b→a/c=b/c（c≠0）

方程定義

含有未知數(shù)的等式叫做方程，而且只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)不為0;并且未知數(shù)的最高次數(shù)為1的整式方程叫做一元一次方程。

標(biāo)準(zhǔn)形式

一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，即所有一元一次方程經(jīng)整理都能得到

2a＋3＝17

2a＝17﹣3

2a＝14

a＝14÷2

a＝7

方程特點(diǎn)

（1）該方程為整式方程。

（2）該方程有且只含有一個(gè)未知數(shù)。

（3）該方程中未知數(shù)的最高次數(shù)是1。（系數(shù)化為1）

（4）未知數(shù)系數(shù)不能為0。

（5）該方程為等式。

判斷方法

要判斷一個(gè)方程是否為一元一次方程，①先看它是否為整式方程。若是，②。如果能整理為ax b=0（a≠0）的形式，則這個(gè)方程就為一元一次方程。里面要有等號(hào)，且分母里不含未知數(shù)。

變形公式

ax=b（a，b為常數(shù)，x為未知數(shù)，且a≠0）

求根公式通常解法

去分母→去括號(hào)→移項(xiàng)→合并同類(lèi)項(xiàng)→系數(shù)化為1。

兩種類(lèi)型

（1）總量等于各分量之和。將未知數(shù)放在等號(hào)左邊，常數(shù)放在右邊。如：x 2x 3x=6。

（2）等式兩邊都含未知數(shù)。如：300x 400=400x，40x 20=60x。

方程舉例

2a=8a-4

4b=-2

x=2

都是一元一次方程。

方程起源

“方程”一詞來(lái)源于中國(guó)古算術(shù)書(shū)《九章算術(shù)》。在這本著作中，已經(jīng)列出了一元一次方程。法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾把未知數(shù)和常數(shù)通過(guò)代數(shù)運(yùn)算所組成的方程稱(chēng)為代數(shù)方程。在19世紀(jì)以前，方程一直是代數(shù)的核心內(nèi)容。

主要用途

一元一次方程通?？捎糜谧鰬?yīng)用題，如工程問(wèn)題、行程問(wèn)題、分配問(wèn)題、盈虧問(wèn)題、球賽積分表問(wèn)題、電話(huà)（水表、電表）計(jì)費(fèi)問(wèn)題、數(shù)字問(wèn)題等。

解決步驟

一、去分母

在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)（不含分母的項(xiàng)也要乘）；

依據(jù)：等式的性質(zhì)2

二、去括號(hào)

一般先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)，可根據(jù)乘法分配律（記住如括號(hào)外有減號(hào)或除號(hào)的話(huà)一定要變號(hào)）

依據(jù)：乘法分配律（注意沒(méi)有除法分配律）

三、移項(xiàng)

把方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)都移到方程的一邊（一般是含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程左邊，而把常數(shù)項(xiàng)移到右邊）

依據(jù)：等式的性質(zhì)1

四、合并同類(lèi)項(xiàng)

把方程化成ax=b（a≠0）的形式；

依據(jù)：乘法分配律（逆用乘法分配律）

五、系數(shù)化為1

在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解x=b/a。

依據(jù)：等式的性質(zhì)2

列方程解應(yīng)用題的步驟

(1)審題，弄清題意．即全面分析已知數(shù)與已知數(shù)、已知數(shù)與未知數(shù)的關(guān)系．特別要把牽涉到的一些概念術(shù)語(yǔ)弄清，如同向，相向，增加到，增加了等.

(2)引進(jìn)未知數(shù)．用x表示所求的數(shù)量或有關(guān)的未知量．在小學(xué)階段所遇到的應(yīng)用題并不十分復(fù)雜，一般只需要直接把要求的數(shù)量設(shè)為未知數(shù)．

(3)找出應(yīng)用題中數(shù)量間的相等關(guān)系，列出方程．

(4)解方程，找出未知數(shù)的值．

(5)檢驗(yàn)并寫(xiě)出答案．檢驗(yàn)時(shí)，一是要將所求得的未知數(shù)的值代入原方程，檢驗(yàn)方程的解是否正確；二是檢查所求得的未知數(shù)的值是否符合題意，不符合題意的要舍去，保留符合題意的解．

解方程口訣

去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)時(shí)，要變號(hào)，同類(lèi)項(xiàng)，合并好，再把系數(shù)來(lái)除掉。

同解方程

如果兩個(gè)方程的解相同，那么這兩個(gè)方程叫做同解方程。

同解原理

（1）方程的兩邊都加或減同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)等式所得的方程與原方程是同解方程。

（2）方程的兩邊同乘或同除同一個(gè)不為0的數(shù)所得的方程與原方程是同解方程。

求根公式：

由于一元一次方程是基本方程，故教科書(shū)上的解法只有上述的方法。

但對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)形式下的一元一次方程：ax b=0(a≠0)。

可得出求根公式。

函數(shù)解法

由于一元一次函數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為ax b=0（a，b為常量，a≠0）的形式，所以解一元一次方程就可以轉(zhuǎn)化為：

當(dāng)某一個(gè)函數(shù)值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值。從圖像上看，這就相當(dāng)于求直線(xiàn)y=kx b（k，b為常量，k≠0）與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值。

本段解法舉例

題目：已知ax=b是關(guān)于x的方程（a、b為常數(shù)），求x的值。

分析：要牢牢抓住一元一次方程的定義，進(jìn)行分類(lèi)討論。

解：當(dāng)a≠0時(shí)。

當(dāng)a=0，b=0時(shí)，方程有無(wú)數(shù)個(gè)解（注意：這種情況不屬于一元一次方程，而屬于恒等方程）

當(dāng)a=0，b≠0時(shí)，方程無(wú)解（注意：此種情況也不屬于一元一次方程）

補(bǔ)充說(shuō)明

（1）依據(jù)：等式的性質(zhì)1

（2）把未知數(shù)相同且其次數(shù)也相同的項(xiàng)合并成一項(xiàng)；常數(shù)計(jì)算后合并成一項(xiàng)

（3）合并時(shí)次數(shù)不變，只是系數(shù)相加減。

移項(xiàng)

（1）依據(jù)：等式的性質(zhì)2

（2）含有未知數(shù)的項(xiàng)變號(hào)后都移到方程左邊，把不含未知數(shù)的項(xiàng)移到右邊。

（3）把方程一邊某項(xiàng)移到另一邊時(shí)，一定要變號(hào)（如：移項(xiàng)時(shí)將 改為-，×改為÷）。

等式性質(zhì)

等式的性質(zhì)一：等式兩邊同時(shí)加一個(gè)數(shù)或減去同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，等式仍然成立。

等式的性質(zhì)二：等式兩邊同時(shí)乘或除以一個(gè)相同的數(shù)（0除外），等式仍然成立。

等式的性質(zhì)三：等式兩邊同時(shí)乘方（或開(kāi)方），等式仍然成立。

解方程都是依據(jù)等式的這三個(gè)性的。

解的定義：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。