基本介紹

拉格朗日力學(xué)，分析力學(xué)中的一種，由拉格朗日在1788年建立，是對經(jīng)典力學(xué)的一種的新的數(shù)學(xué)表述。經(jīng)典力學(xué)，最初的表述形式由牛頓建立，它著重分析位移，速度，加速度，力等矢量間的關(guān)系，又稱為矢量力學(xué)。拉格朗日引入了廣義坐標(biāo)的概念，運(yùn)用達(dá)朗貝爾原理，得到和牛頓第二定律等價的拉格朗日方程。但拉格朗日方程具有更普遍的意義，適用范圍更廣泛。并且，選取恰當(dāng)?shù)膹V義坐標(biāo)，可以使拉格朗日方程的求解大大簡化。

定義

拉格朗日力學(xué)是分析力學(xué)中的一種，于1788年由約瑟夫·拉格朗日所創(chuàng)立。拉格朗日力學(xué)是對經(jīng)典力學(xué)的一種的新的理論表述，著重于數(shù)學(xué)解析的方法，是分析力學(xué)的重要組成部分。

力學(xué)系統(tǒng)由一組坐標(biāo)來描述。比如一個質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動（在笛卡爾坐標(biāo)系中）由x，y，z三個坐標(biāo)來描述。一般的，N個質(zhì)點(diǎn)組成的力學(xué)系統(tǒng)由3N個坐標(biāo)來描述。力學(xué)系統(tǒng)中常常存在著各種約束，使得這3N個坐標(biāo)并不都是獨(dú)立的。力學(xué)系統(tǒng)的獨(dú)立坐標(biāo)的個數(shù)稱之為自由度。對于N個質(zhì)點(diǎn)組成的力學(xué)系統(tǒng)，若存在m個約束，則系統(tǒng)的自由度為

S=3N?m

哈密爾頓量H可以通過對拉格朗日量進(jìn)行勒讓德變換得到。哈密爾頓量是經(jīng)典力學(xué)的另一種表述哈密爾頓力學(xué)的基礎(chǔ)。拉格朗日量可以視為定義在所有廣義坐標(biāo)可能值組成的組態(tài)空間的切叢上的函數(shù)，而哈密爾頓量是相對應(yīng)的余切叢上的函數(shù)。哈密爾頓量在量子力學(xué)中到處出現(xiàn)（參看哈密爾頓量(量子力學(xué))）。

1948年，費(fèi)曼發(fā)明了路徑積分表述，將最小作用原理擴(kuò)展到量子力學(xué)。在該表述中，粒子穿過所有可能的始態(tài)和終態(tài)的所有路徑；特定終態(tài)的概率是所有可能導(dǎo)向它的軌跡的概率之和。在經(jīng)典力學(xué)的范圍，路徑積分表述簡單的退化為哈密爾頓原理。

作者介紹

約瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736~1813）全名為約瑟夫·路易斯·拉格朗日，法國著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。他在數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)三個學(xué)科領(lǐng)域中都有歷史性的貢獻(xiàn)，其中尤以數(shù)學(xué)方面的成就最為突出。

其他信息

坐標(biāo)

在矢量力學(xué)中，約束的存在體現(xiàn)于作用于系統(tǒng)的約束力。約束力引入額外的未知量，通常使問題變得更為復(fù)雜。但若能選取適當(dāng)?shù)膕個完全滿足約束條件的獨(dú)立坐標(biāo)，則約束不再出現(xiàn)于問題中，只需要求解關(guān)于s個未知變量的方程，使問題得以大大簡化。這樣的s個坐標(biāo)不再局限于各質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，而可以是任何能描述系統(tǒng)的幾何參量，因此稱為“廣義坐標(biāo)”。

假設(shè)

拉格朗日力學(xué)的一個基本假設(shè)是：具有n個自由度的系統(tǒng)，其運(yùn)動狀態(tài)完全由n個廣義坐標(biāo)及它們的微商（廣義速度）決定?；蛘哒f，力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)由一個廣義坐標(biāo)和廣義速度的函數(shù)描述：

這個函數(shù)稱為拉格朗日函數(shù)或拉格朗日量。

拉格朗日方程

拉格朗日力學(xué)中，運(yùn)動方程由一個二階微分方程（拉格朗日方程）給出：

其中Q為所對應(yīng)的非保守的廣義力。 拉格朗日方程的地位等同于牛頓力學(xué)中的牛頓第二定律。但具有更普遍的意義。

概念拓展

哈密頓量 可以通過對拉格朗日量進(jìn)行勒讓德變換得到。哈密頓量是經(jīng)典力學(xué)的另一種表述哈密頓力學(xué)的基礎(chǔ)。拉格朗日量可以視為定義在所有廣義坐標(biāo)可能值組成的組態(tài)空間的切叢上的函數(shù)，而哈密頓量是相對應(yīng)的余切叢上的函數(shù)。哈密頓量在量子力學(xué)中到處出現(xiàn)（參看哈密頓算符 (量子力學(xué))）。

1948年，費(fèi)曼發(fā)明了路徑積分表述，將最小作用量原理擴(kuò)展到量子力學(xué)。在該表述中，粒子穿過所有可能的始態(tài)和終態(tài)的所有路徑；特定終態(tài)的概率是所有可能導(dǎo)向它的軌跡的概率之和。在經(jīng)典力學(xué)的范圍，路徑積分表述簡單的退化為哈密頓原理。