祖沖之（429～500）南北朝時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家。數(shù)學(xué)方面，祖沖之推算出圓周率π的不足近似值（朒數(shù)）3.1415926和過剩近似值（盈數(shù)）3.1415927，指出π的真值在盈、朒兩限之間，即3.1415926＜π＜3.1415927，并用以校算新莽嘉量斛的容積。這個(gè)圓周率值是當(dāng)時(shí)世界上最先進(jìn)的數(shù)學(xué)成就。

求算圓周率的值是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要也是非常困難的研究課題。中國(guó)古代許多數(shù)學(xué)家都致力于圓周率的計(jì)算，而公元5世紀(jì)祖沖之所取得的成就可以說是圓周率計(jì)算的一個(gè)躍進(jìn)。祖沖之是中國(guó)古代偉大的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家。祖沖之于公元429年出生在建康（今江蘇南京），他家歷代都對(duì)天文歷法有研究，他從小就接觸數(shù)學(xué)和天文知識(shí)，公元464年，祖沖之35歲時(shí)，他開始計(jì)算圓周率。

在中國(guó)古代，人們從實(shí)踐中認(rèn)識(shí)到，圓的周長(zhǎng)是“圓徑一而周三有余”，也就是圓的周長(zhǎng)是圓直徑的三倍多，但是多多少，意見不一。在祖沖之之前，中國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽提出了計(jì)算圓周率的科學(xué)方法－－“割圓術(shù)”，用圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)來逼近圓周長(zhǎng)，用這種方法，劉徽計(jì)算圓周率到小數(shù)點(diǎn)后4位數(shù)。祖沖之在前人的基礎(chǔ)上，經(jīng)過刻苦鉆研，反復(fù)演算，將圓周率推算至小數(shù)點(diǎn)后7位數(shù)（即3.1415926與3.1415927之間），并得出了圓周率分?jǐn)?shù)形式的近似值。祖沖之究竟用什么方法得出這一結(jié)果，現(xiàn)在無(wú)從查考。如果設(shè)想他按劉徽的“割圓術(shù)”方法去求的話，就要計(jì)算到圓內(nèi)接16000多邊形，這需要化費(fèi)多少時(shí)間和付出多么巨大的勞動(dòng)?。∽鏇_之計(jì)算得出的圓周率，外國(guó)數(shù)學(xué)家獲得同樣結(jié)果，已是一千多年以后的事了。為了紀(jì)念祖沖之的杰出貢獻(xiàn)，有些外國(guó)數(shù)學(xué)史家建議把圓周率π叫做“祖率”。除了在計(jì)算圓周率方面的成就，祖沖之還與他的兒子一起，用巧妙的方法解決了球體體積的計(jì)算。他們當(dāng)時(shí)采用的原理，在西方被稱為“卡瓦列利”（Cavalieri）原理，但這是在祖沖之以后一千多年才由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利發(fā)現(xiàn)的。為了紀(jì)念祖氏父子發(fā)現(xiàn)這一原理的重大貢獻(xiàn)，數(shù)學(xué)上也稱這一原理為“祖原理”。祖沖之在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的成就，只是中國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的一個(gè)方面。實(shí)際上，14世紀(jì)以前中國(guó)一直是世界上數(shù)學(xué)最為發(fā)達(dá)的國(guó)家之一。比如幾何中的勾股定理，在中國(guó)早期的數(shù)學(xué)專著《周髀算經(jīng)》（大約于公元前2世紀(jì)成書）中即有論述；成書于公元1世紀(jì)的另一本重要的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》，在世界數(shù)學(xué)史上最早提出負(fù)數(shù)概念及正負(fù)數(shù)加減法法則；13世紀(jì)時(shí)，中國(guó)就已經(jīng)有了十次方程的解法，而直到16世紀(jì)，歐洲才提出三次方程的解法。

《隋書·律歷志》有如下記載：“宋末，南徐州從事祖沖之更開密法。以圓徑一億為丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈朒二限之間。密率：圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二。”這一記錄指出：祖沖之關(guān)于圓周率有兩大貢獻(xiàn)：其一是，求得圓周率：3.1415926＜π＜3.1415927。其二是，得到π的兩個(gè)近似分?jǐn)?shù)：約率為22／7；密率為355／113。

這一結(jié)果是如何獲得的呢？追根溯源，正是基于對(duì)劉徽割圓術(shù)的繼承與發(fā)展，祖沖之才能得到這一非凡的成果。因而當(dāng)我們稱頌祖沖之的功績(jī)時(shí)，不要忘記他的成就的取得是因?yàn)樗驹跀?shù)學(xué)偉人劉徽的肩膀上的緣故。后人曾推算若要單純地通過計(jì)算圓內(nèi)接多邊形邊長(zhǎng)的話，得到這一結(jié)果，需要算到圓內(nèi)接正12288邊形，才能得到這樣精確度的值。祖沖之是否還使用了其它的巧妙辦法來簡(jiǎn)化計(jì)算呢？這已經(jīng)不得而知，因?yàn)橛涊d其研究成果的著作《綴術(shù)》早已失傳了。這在中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展史上是一件極令人痛惜的事。

那么，祖沖之是如何取得這樣重大的科學(xué)成就呢？可以肯定，他的成就是建立在前人研究的基礎(chǔ)之上的。從當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)水平來看，祖沖之很可能是繼承了劉徽所創(chuàng)立和面卓首先使用的割圓術(shù)，并且加以發(fā)展，因此獲得了超越前人的重大成就。在前面，我們提到割圓術(shù)時(shí)已經(jīng)知道了這樣的結(jié)論：圓內(nèi)接正n邊形的邊數(shù)越多，各邊長(zhǎng)的總和就越接近圓周的實(shí)際長(zhǎng)度。但因?yàn)樗莾?nèi)接的，又不可能把邊數(shù)增加到無(wú)限多，所以邊長(zhǎng)總和永遠(yuǎn)小于圓周。

祖沖之按照劉徽的割圓術(shù)之法，設(shè)了一個(gè)直徑為一丈的圓，在圓內(nèi)切割計(jì)算。當(dāng)他切割到圓的內(nèi)接一百九十二邊形時(shí)，得到了“徽率”的數(shù)值。但他沒有滿足，繼續(xù)切割，作了三百八十四邊形、七百六十八邊形……一直切割到二萬(wàn)四千五百七十六邊形，依次求出每個(gè)內(nèi)接正多邊形的邊長(zhǎng)。最后求得直徑為一丈的圓，它的圓周長(zhǎng)度在三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽到三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽之間，上面的那些長(zhǎng)度單位我們現(xiàn)在已不再通用，但換句話說：如果圓的半徑為1，那么圓周小于3.1415927、大大不到千萬(wàn)分之一，它們的提出，大大方便了計(jì)算和實(shí)際應(yīng)用。

要作出這樣精密的計(jì)算，是一項(xiàng)極為細(xì)致而艱巨的腦力勞動(dòng)。我們知道，在祖沖之那個(gè)時(shí)代，算盤還未出現(xiàn)，人們普遍使用的計(jì)算工具叫算籌，它是一根根幾寸長(zhǎng)的方形或扁形的小棍子，有竹、木、鐵、玉等各種材料制成。通過對(duì)算籌的不同擺法，來表示各種數(shù)目，叫做籌算法。如果計(jì)算數(shù)字的位數(shù)越多，所需要擺放的面積就越大。用算籌來計(jì)算不象用筆，筆算可以留在紙上，而籌算每計(jì)算完一次就得重新擺動(dòng)以進(jìn)行新的計(jì)算；只能用筆記下計(jì)算結(jié)果，而無(wú)法得到較為直觀的圖形與算式。

因此只要一有差錯(cuò)，比如算籌被碰偏了或者計(jì)算中出現(xiàn)了錯(cuò)誤，就只能從頭開始。要求得祖沖之圓周率的數(shù)值，就需要對(duì)九位有的小數(shù)進(jìn)行15927加、減、乘、除和開方運(yùn)算等十多個(gè)步驟的計(jì)算，而每個(gè)步驟都要反復(fù)進(jìn)行十幾次，開方運(yùn)算有50次，最后計(jì)算出的數(shù)字達(dá)到小數(shù)點(diǎn)后十六、七位。今天，即使用算盤和紙筆來完成這些計(jì)算，也不是一件輕而易舉的事。讓我們想一想，在一千五百多年前的南朝時(shí)代，一位中年人在昏暗的油燈下，手中不停地算呀、記呀，還要經(jīng)常地重新擺放數(shù)以萬(wàn)計(jì)的算籌，這是一件多么艱辛的事情，而且還需要日復(fù)一日地重復(fù)這種狀態(tài)，一個(gè)人要是沒有極大的毅力，是絕對(duì)完不成這項(xiàng)工作的。

1573年，德國(guó)人奧托得出這一結(jié)果。他是用阿基米德成果22／7與托勒密的結(jié)果377／120用類似于加成法"合成"的：(377-22)/(120-7)=355/113。1585年，荷蘭人安托尼茲用阿基米德的方法先求得：333/106＜π＜377/120，用兩者作為π的母近似值，分子、分母各取平均，通過加成法獲得結(jié)果：(333+377)/(106+120)=355/113。錢宗琮先生在《中國(guó)算學(xué)史》（1931年）中提出祖沖之采用了我們前面提到的由何承天首創(chuàng)的"調(diào)日法"或稱加權(quán)加成法。他設(shè)想了祖沖之求密率的過程：以徽率157／50，約率22／7為母近似值，并計(jì)算加成權(quán)數(shù)x=9，于是(157+22×9)/(50+7×9)=355/113，一舉得到密率。錢先生說："沖之在承天后，用其術(shù)以造密率，亦意中事耳。"另一種推測(cè)是：使用連分?jǐn)?shù)法。由于求二自然數(shù)的最大公約數(shù)的更相減損術(shù)遠(yuǎn)在《九章算術(shù)》成書時(shí)代已流行，所以借助這一工具求近似分?jǐn)?shù)應(yīng)該是比較自然的。于是有人提出祖沖之可能是在求得盈二數(shù)之后，再使用這個(gè)工具，將3.14159265表示成連分?jǐn)?shù)，得到其漸近分?jǐn)?shù)：3，22／7，333／106，355／113，102573／32650…最后，取精確度很高但分子分母都較小的355／113作為圓周率的近似值。至于上面圓周率漸近分?jǐn)?shù)的具體求法，這里略掉了。英國(guó)李約瑟博士持這一觀點(diǎn)。他在《中國(guó)科學(xué)技術(shù)史》卷三第19章幾何編中論祖沖之的密率說："密率的分?jǐn)?shù)是一個(gè)連分?jǐn)?shù)漸近數(shù)，因此是一個(gè)非凡的成就。"

這一光輝成就，也充分反映了我國(guó)古代數(shù)學(xué)高度發(fā)展的水平。祖沖之，不僅受到中國(guó)人民的敬仰，同時(shí)也受到世界各國(guó)科學(xué)界人士的推崇。祖沖之在圓周率方面的研究，有著積極的現(xiàn)實(shí)意義，適應(yīng)了當(dāng)時(shí)生產(chǎn)實(shí)踐的需要。